sábado, 26 de novembro de 2011

Proporções no Bonsai e a equação Áurea de Fibonacci

Amigos e curiosos,

É fascinante aprofundar nos estudos da arte do Bonsai e a cada pesquisa descobrir aspectos fabulosos, tanto sobre as técnicas avançadas que permeiam a praticidade dos exemplares, bem como noções e diretrizes teóricas e filosóficas que acrescentam imenso valor educativo e espiritual à prática e exercício desta nobre arte.

Além dos aspectos botânicos do cultivo, faz-se necessário considerar que Bonsai é uma forma de arte que aspectos como proporcionalidade, forma, equilíbrio harmonia e profundidade são parâmetros tão valorizados quanto a saúde e vitalidade da planta. Nesse sentido, os exemplares mais valorizados são aqueles que apresentam o aspecto de uma árvore idosa, como junção das raízes com o tronco aparente (o nebari) bem equilibrada e distribuída ao redor do tronco, com um bom movimento no tronco e/ou conicidade (largo na base e reduzindo o diâmetro em direção ao ápice), principalmente no primeiro terço inferior do tronco (Tachiagari), galhos distribuídos simetricamente em relação ao tronco e com angulação que sugira idade( angulados como se estivem pesados para baixo sob ação da gravidade), e folhas preferencialmente pequenas.

Tais orientações conferem ao bonsai um aspecto de árvore em miniatura, porém o grande atrativo dessa arte não é a simples miniaturização: é a busca do equilíbrio, da beleza e harmonia através da interação com a árvore, um ser vivo, que deve ser compreendido e respeitado. Os conhecimentos desenvolvidos pela experiência compõem um verdadeiro instrumento de comunicação, estabelecendo um relacionamento de parceria e cumplicidade entre o cultivador e o bonsai. Essa relação é a verdadeira essência da arte bonsai.

É muito importante lembrar que o bonsai é regido tanto por regras matemáticas e botânicas como pela filosofia Zen.  Sua contemplação é um verdadeiro exercício de meditação que nos leva ao relaxamento e nos coloca em sintonia direta com a energia suprema através da natureza e do nosso interior. É muito profunda  e mesmo sem percebermos, nos leva a exercitar e valorizar  algumas virtudes que ás vezes deixamos em segundo plano. Como por exemplo, paciência, humildade, disciplina, observação, meditação, estudo e leitura e ainda respeito á natureza, à nós mesmo e ao próximo.


Essas proporções foram utilizadas inicialmente pela escola japonesa e foram inspiradas pela natureza e baseadas nas árvores que  impressionavam, tanto pela beleza quanto pela idade ou forma.

Atingir as proporções e características das árvores realmente velhas e impressionantes da natureza:



•    A altura ideal do bonsai é aproximadamente 5 a 6 vezes  o diâmetro do tronco em sua base (Isso antigamente, hoje em dia há uma tendência para uma proporção mais compacta de 2 a 3 vezes o diâmetro do tronco).
•    O ideal é que o tronco possua uma forma cônica marcante, ou seja, grosso na base, afinando gradativamente até o ápice. E caso tenha movimento, é interessante que ocorra no seu primeiro terço inferior (no tachiagari)
•    É mais interessante que o primeiro galho esteja situado próximo no final do primeiro terço inferior do bonsai ( tachiagari).

•    Os galhos devem estar dispostos de forma alternada, em alturas diferentes, diminuindo de comprimento e diâmetro da base para o ápice, seguindo o seguinte padrão: se o primeiro galho originar-se do lado direito, o segundo (galho de fundo)deve ser posterior, o terceiro (denominado segundo galho) do lado esquerdo, o quarto (galho frontal) ligeiramente à frente e assim sucessivamente. A distância entre os galhos deve diminuir à medida que se aproximam do ápice.

•    O ideal é que nenhum galho deva originar-se diretamente na parte da frente do tronco, cruza-lo ou cruzar com outro galho .
•    Nos troncos sinuosos é importante os galhos estejam posicionados na  na parte externa das curvas.
•    As raízes devem originar-se simetricamente em toda circunferência do tronco, tomando uma orientação radial (nebari).


•    O ideal é que o vaso final possua comprimento correspondente a aproximadamente dois terços da altura (medida da borda superior do vaso ao ápice) ou largura do bonsai, o que for maior.
•    A altura do vaso deve ser menor ou igual ao diâmetro do tronco em sua base.


Em meus estudos sempre imaginei o quão complicadas e elaboradas são tais diretrizes e as respectivas dificuldades para acompanha-las no desenvolvimento da arte, porém, encontrei novas informações a cerca da matemática botânica que também é utilizada por alguns grandes mestres e que agregam altíssimo nível de dificuldades, contudo, possui uma beleza na interpretação romântica da matemática que realmente é fascinante e trago ao conhecimento.

A equação Áurea de Fibonacci

Ao olhar uma árvore isolada, em um ambiente em que o seu crescimento não tenha tido nenhuma interferência climática extrema, podemos observar a harmonia de seu movimento e a beleza da sua forma.


Os estilos de bonsai retratam todas as formas e estéticas  que as árvores apresentam ao se adaptar à natureza, clima, vento, altitude, temperatura e solo.Os estilos Hokidashi (vassoura), Chokan (ereto formal) e Moyogi (ereto informal) retratam bem essa harmonia.  A solidão de uma árvore num campo aberto traz uma beleza singular; suas formas são leves e simétricas, seu crescimento em todas as direções seguem regras fractais de forma, que podem ser observadas em toda natureza, em um coral, numa semente de girassol,  no movimento de uma onda, na formação geológica de cristais de rocha, na teia de aranha, nos flocos de neve, ou na rotação de uma gigantesca galáxia.


O crescimento de uma planta, assim como tudo na natureza, segue uma regra matemática, que foi primeiramente estudada por Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Esta lei é conhecida como “Equação áurea” ou “Retângulo áureo”.

Retângulo áureo de Fibonacci

Estrutura do movimento em espiral do Nautilus.

Leonardo Pisani também conhecido como Fibonacci.
Um dos maiores gênios do cinema, o diretor  Stanley Kubrick, imortalizou o retângulo áureo em seu filme “2001 uma Odisséia no espaço”, escolhendo como a forma que se manifesta nas etapas do conhecimento e evolução do homem. A famosa cena do aparecimento do monolito antes do momento em que os macacos usam o osso de um animal morto como ferramenta, e o osso sendo lançado ao céu se transformando em uma estação espacial, é uma das cenas mais poéticas do cinema.
Cena do filme 2001 uma Odisséia no Espaço.

O olho humano pode não notar, mas o crescimento de uma planta segue esta regra, seguindo um padrão de crescimento em espiral, como a espiral formada por uma grande furacão ou por um feto dentro do corpo da mãe.

Furacão observado por satélite.

Estrutura do movimento espiral de crescimento.
Uma planta em particular, mostra os números da sucessão de Fibonacci nos seus “pontos de crescimento”. Quando a planta tem um novo rebento, leva dois meses a crescer até que as ramificações fiquem suficientemente fortes. Se a planta ramifica todos os meses, depois disso, no ponto de ramificação, obtemos uma figura semelhante à de baixo:
Crescimento vegetativo.
Os arranjos das folhas de algumas plantas em torno do caule são números de Fibonacci. Com este arranjo, todas as folhas conseguem apanhar os raios solares de igual forma. Quando chove, o escoamento da água torna-se também mais fácil. Na figura abaixo, podemos contar as folhas, seguindo-as pela ordem que aparecem, até encontrar uma folha exatamente na vertical da primeira.

Na planta do topo contamos três rotações no sentido dos ponteiros do relógio, antes de encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira. Passamos por cinco folhas, até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de duas rotações. Os algarismos 2, 3 e 5 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. Podemos escrever então 3\5 de volta por folha.

Na outra planta, para encontrarmos a folha na mesma direcção da primeira tem de se fazer cinco rotações no sentido dos ponteiros do relógio . Passamos por oito folhas até que isso aconteça. Se contarmos no sentido contrário aos ponteiros do relógio, precisamos de três rotações. Os algarismos 3, 5 e 8 são como vimos, números da sucessão de Fibonacci. De igual modo podemos escrever 5\8 de volta por folha.

Podemos agora ver alguns exemplos de plantas em que isto acontece:
1\2 olmo, tília, limeira
1\3 faia, aveleira, amora silvestre
2\5 carvalho, cerejeira, macieira, azevinho, ameixieira, cardo-morto
3\8 choupo, álamo, roseira, pereira, salgueiro
5\13 amendoeira

Espirais de crescimento vegetativo.

Movimento em espiral de uma galáxia.
Via Lactea

Uma gigantesca onda forma matematicamente com precisão os números de ouro.

Estrutura do movimento em espiral dos caramujos.
A matemática Áurea na natureza.

Os caramujos quebrados pelas grandes ondas eram interessantes pois traziam espirais perfeitas, formas e estruturas harmoniosas.

Muitos artistas que viveram depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci a chamava: Divina Proporção e a usou em muitos de seus trabalhos. Na Mona Lisa observa-se a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, ao construir um retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo Áureo. 

Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e ter de novo a proporção Áurea. Podemos continuar a explorar tal proporção em várias outras partes do corpo. Artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro) em trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram estas relações matemáticas.


Leonardo da Vinci era fascinado pela proporção áurea e a usava em seus quadros. Porquê a monalisa é tão atraente aos olhos, sua boca, mãos seu vestido, obedecem a essas regras matemáticas.

Os antigos arquitetos gregos já utilizavam essa proporção: ela é observada no Parthenon grego de Atenas, monumento que existe até hoje e obedece à proporção áurea da natureza na fachada, laterais e colunas. Pitágoras acreditava que o estudo da proporção áurea revelava os segredos da criação do universo.

Equação aplicada no Parthenon de Atenas.
Captéis que adornam o Parthenon grego de Atenas. Até nos detalhes foi seguida a proporção áurea.

Parthenon grego de Atenas construído seguindo a equação áurea.
Arquitetura seguindo a proporção Aurea.

A APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO ÁUREA ESTÁ EM TODAS AS ÁREAS ARSTÍSTICAS DA HUMANIDADE

Podemos citar diversos outros exemplos, como a Basílica de São Pedro no Vaticano, o nascimento de Vênus de Sandro Botticelli e obras como as de Salvador Dali, entre milhares de outras.

As Pirâmides de Gizé, no Egito, também foram construídas baseadas na razão de áurea: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro: 1,618

Pirâmides de Gizé.

Como explicar que o Vilolino de maior qualidade sonora e mais famoso do mundo tenha sido construído seguindo todas as proporções da equação áurea?

“A matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo” – Galileu Galilei (1554-1642) atrônomo italiano.

Sequencia de numérica da equação aurea de Fibonaci:  f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,…}

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:
1o.termo somado com o 2o.termo gera o 3o.termo
2o.termo somado com o 3o.termo gera o 4o.termo
3o.termo somado com o 4o.termo gera o 5o.termo  e continua ……

Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcando com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. Se contar essas espirais que partem da direita, a partir da borda da figura, são 34. Para o outro lado quantas são? Verá que esses dois números são vizinhos na série de Fibonacci.

Flor de Girassol.


O mesmo acontece nas sementes reais da natureza. A razão, parece estar na forma da distribuição óptima das sementes, não importando o seu tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme , desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem.

Se contar as espirais perto do centro nas duas direcções, serão ambos números de Fibonacci.

Em baixo estão algumas figuras de 500, 1000 e 5000 sementes.


Consideram alguns mestre que, para aplicação inicial no nosso trabalho com bonsai, mais do que estudar a proporção numérica e as proporções do retângulo áureo, o principal é olhar à nossa volta e procurar os números de Fibobonaci  que estão na estrutura da natureza. O movimento natural gerado pela espiral é muito importante na estética do bonsai. Se observarmos uma árvore varrida pelo vento, seus galhos em todas as direções seguem em moviemntos suaves, para se adaptar e não quebrar.  Se observados os flocos de neve, todos diferem um dos outros, mas o padrão hexagonal básico, com seis faces, é comum a todos eles, o padrão hexagonal segue a equação Áurea.

Corte horizontal em uma maça.

Floco de neve.
Floco de neve.
Proporções áureas do corpo humano estudadas durante anos por Leonardo da Vinci foram imortalizadas no homem Vitruviano e mostram a simetria aplicadas à concepção da beleza humana.

1-A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.2-A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.3-A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.4-A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.5-O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.6-A medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda dobra até a ponta.7-A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.



Colaboração: Projeto Bonsai Rock Jr. e Aido Bonsai

4 comentários:

  1. Gostei muito dessa postagem!
    Eu estou fazendo um trabalhod e matemática relacionado ao Retangulo Áureo e o Numero de Ouro e seu blog me ajudou bastante!
    Muito obrigada, e parabéns !
    bjs

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  2. Prezada Anonima,
    Fico satisfeito que lhe ajudou.
    Abs

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  3. Muito boa esta postagem , muito interessante mesmo!Estou fazendo uma pesquisa sobre proporção divina e este site me esclareceu muitas coisas-faço design de interiores!Obrigada!

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    1. Que bom que auxiliou.
      Seja sempre bem vinda.

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